About Circle Chords
What Is a Chord?
A chord is a straight line segment whose endpoints lie on the circumference of a circle. The diameter is the longest possible chord, passing through the center. Every chord divides a circle into two regions: a smaller segment and a larger segment.
Chord Length Formula
Given the radius r and the central angle theta (in radians), the chord length is c = 2r x sin(theta/2). Alternatively, if you know the perpendicular distance d from the center to the chord, then c = 2 x sqrt(r² - d²).
Related Properties
Each chord defines several related measurements: the arc it subtends, the central angle, the segment area (between chord and arc), and the segment height (distance from chord midpoint to arc). These are all interconnected through the radius.
Applications
Chord calculations are used in structural engineering (arch design), manufacturing (circular cuts), navigation (great circle routes), optics (lens design), and music theory (string vibration patterns). Understanding chord properties is fundamental in circular geometry.
La corde d'un cercle
Une corde est un segment de droite joignant deux points d'un cercle. La longueur de la corde : c = 2r×sin(θ/2), où r est le rayon et θ l'angle au centre en radians. Le diamètre est la plus longue corde (θ = π). La distance du centre à la corde (flèche) : d = r - r×cos(θ/2) = r(1 - cos(θ/2)). L'aire du segment circulaire : A = r²(θ - sinθ)/2. Ces formules sont fondamentales en géométrie circulaire pour calculer les propriétés des arcs.
Propriétés des cordes
Le diamètre perpendiculaire à une corde la bissecte. Deux cordes équidistantes du centre sont égales. Le produit des segments de deux cordes sécantes est constant : PA×PB = PC×PD (puissance d'un point). Les arcs sous-tendus par des cordes égales sont égaux. Le cercle circonscrit à un triangle passe par les trois sommets, et les côtés du triangle sont des cordes de ce cercle. Ces propriétés sont utilisées en géométrie euclidienne classique.
Cordes en architecture et ingénierie
Les arcs architecturaux sont basés sur des segments de cercle et leurs cordes. L'arc roman est un demi-cercle, l'arc ogival (gothique) combine deux arcs de cercle. En ingénierie, les ponts en arc utilisent la géométrie des cordes. En aéronautique, la corde d'aile (chord) est la distance du bord d'attaque au bord de fuite. Le nombre de Reynolds et la portance dépendent de cette corde. La corde aérodynamique est un paramètre fondamental de la conception des avions.
Cordes et arcs en géométrie
La relation entre corde et arc : pour un angle θ (radians), la longueur de l'arc = rθ, la longueur de la corde = 2r×sin(θ/2). Le rapport corde/arc = sin(θ/2)/(θ/2) tend vers 1 quand θ→0 (petits angles). La flèche (distance corde-arc) = r(1-cos(θ/2)) = r - √(r²-c²/4). L'aire du segment = (r²θ - c×√(r²-c²/4))/2. Ces formules sont utilisées en architecture pour les arcs, les voûtes et les coupoles de bâtiments historiques.
La puissance d'un point
La puissance du point P par rapport au cercle : p = OP² - r². Si P est extérieur et deux sécantes passent par P : PA×PB = PC×PD = p. Si P est intérieur : PA×PB = -p. Si P est sur le cercle : p = 0. Cette notion unifie les théorèmes des cordes sécantes, de la tangente-sécante et des tangentes. La puissance d'un point est fondamentale en géométrie projective et dans la résolution de problèmes de cercles et de tangentes.
Les cordes en musique
Les cordes vibrantes produisent des sons dont la fréquence dépend de la longueur, la tension et la densité. Loi de Mersenne : f = (1/2L)√(T/μ) où L est la longueur, T la tension, μ la masse linéique. En raccourcissant la corde (touches de guitare, piano), on augmente la fréquence. La corde à vide donne la note fondamentale. Les harmoniques (nœuds et ventres) produisent les partiels qui enrichissent le timbre de chaque instrument de musique.
Les théorèmes des cordes
Théorème de Ptolémée : pour un quadrilatère cyclique (inscrit dans un cercle), le produit des diagonales = somme des produits des côtés opposés : AC×BD = AB×CD + AD×BC. Application : calculer la longueur des cordes dans un cercle inscrit. Le théorème des cordes sécantes et le théorème de la tangente-sécante sont des cas particuliers de la puissance d'un point. Ces théorèmes sont fondamentaux en géométrie du cercle et utiles pour résoudre les problèmes de construction.