Integral Calculator

What Is an Integral?

An integral computes the area under a curve. For a function f(x), the definite integral from a to b gives the signed area between the curve and the x-axis. The indefinite integral (antiderivative) F(x) satisfies F'(x) = f(x).

The Power Rule for Integration

For a polynomial term axⁿ, the antiderivative is a·xⁿ⁺¹/(n+1) + C. This is the power rule for integration and is the most fundamental integration technique. The constant C represents the family of antiderivatives.

Definite vs Indefinite Integrals

A definite integral ∫ₐᵇ f(x)dx produces a number: the net signed area. An indefinite integral produces a function family. The Fundamental Theorem of Calculus connects them: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).

Riemann Sums

Riemann sums approximate the definite integral by dividing [a,b] into rectangles. The sum of rectangle areas converges to the integral as the number of rectangles grows. This calculator uses right-endpoint Riemann sums for the table visualization.

Applications

Integrals compute areas, volumes of revolution, arc lengths, work done by forces, center of mass, probability distributions, and accumulated change. They are indispensable in physics, engineering, economics, and statistics.

Les techniques d'intégration

Plusieurs méthodes existent selon le type de fonction. L'intégration par substitution : si u = g(x), alors ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du. Exemple : ∫2x×e^(x²)dx = ∫e^u du = e^(x²)+C. L'intégration par parties : ∫u dv = uv - ∫v du, choix stratégique de u et dv selon le type de fonctions. Les fractions partielles : décomposer (3x+5)/(x²+3x+2) en A/(x+1)+B/(x+2) pour intégrer terme à terme. L'intégration trigonométrique : utiliser les identités pour simplifier sin²x = (1-cos2x)/2 et les substitutions spécifiques pour les formes contenant des racines carrées de sommes ou différences de carrés trigonométriques. L'intégration numérique : méthode des rectangles, trapèzes et Simpson pour les intégrales sans solution analytique fermée, avec des précisions croissantes pour un nombre de subdivisions donné.

L'intégrale dans la géométrie et la physique

L'intégrale calcule des quantités accumulées. Aire sous une courbe : A = ∫f(x)dx de a à b. Volume de révolution : V = π∫f(x)²dx (méthode des disques). Longueur d'arc : L = ∫√(1+(f'(x))²) dx. Surface de révolution : S = 2π∫f(x)√(1+(f'(x))²) dx. En physique, le travail : W = ∫F(x)dx, force variable sur une distance. L'énergie potentielle : U = ∫F dx depuis l'infini. Le centre de masse : x̄ = ∫x×dm / ∫dm. Le moment d'inertie : I = ∫r²dm. En probabilités, la probabilité : P(a

L'intégrale et le théorème fondamental de l'analyse

Ce théorème relie dérivée et intégrale, les deux piliers du calcul. Énoncé : si F'(x) = f(x), alors ∫f(x)dx de a à b = F(b) - F(a). C'est-à-dire que l'aire sous la courbe de f se calcule en évaluant la primitive F aux bornes de l'intervalle. Exemple : ∫x²dx de 0 à 3. F(x) = x³/3. F(3)-F(0) = 9-0 = 9. L'aire sous la parabole de 0 à 3 est exactement 9 unités carrées. L'intérprétation physique : si f(t) est la vitesse à l'instant t, alors ∫f(t)dt de t₁ à t₂ donne la distance parcourue entre ces deux instants. La primitive de la vitesse est la position et le FTC dit que la variation de position = intégrale de la vitesse sur l'intervalle de temps considéré. L'intégrale impropre : quand les bornes sont infinies ou la fonction a une asymptote. ∫1/x² de 1 à ∞ = [-1/x] de 1 à ∞ = 0-(-1) = 1 (converge). Mais ∫1/x de 1 à ∞ = [ln x] de 1 à ∞ = ∞ (diverge, l'aire est infinie).

Les intégrales impropres et leur convergence

Quand les bornes sont infinies ou la fonction a une asymptote, l'intégrale est dite impropre. Première espèce (borne infinie) : ∫f(x)dx de a à +∞ = lim(b→+∞) ∫f(x)dx de a à b. Deuxième espèce (singularité) : ∫f(x)dx de 0 à 1 avec f(x) = 1/√x, diverge en 0 = lim(a→0⁺) ∫f(x)dx de a à 1. Les critères de convergence : comparaison avec ∫1/x^p de 1 à ∞. Converge si p>1, diverge si p≤1. ∫e^(-x) de 0 à ∞ = 1 (converge car l'exponentielle décroît plus vite que tout polynôme). La transformée de Laplace : L(f) = ∫f(t)e^(-st)dt de 0 à ∞, transforme les équations différentielles en équations algébriques dans le domaine fréquentiel. La fonction gamma : Γ(n) = ∫t^(n-1)e^(-t)dt de 0 à ∞, prolonge la factorielle aux nombres non entiers. Γ(n+1) = n! pour les entiers naturels et Γ(1/2) = √π, un résultat remarquable reliant la factorielle à la constante fondamentale π.