About Circle Chords
What Is a Chord?
A chord is a straight line segment whose endpoints lie on the circumference of a circle. The diameter is the longest possible chord, passing through the center. Every chord divides a circle into two regions: a smaller segment and a larger segment.
Chord Length Formula
Given the radius r and the central angle theta (in radians), the chord length is c = 2r x sin(theta/2). Alternatively, if you know the perpendicular distance d from the center to the chord, then c = 2 x sqrt(r² - d²).
Related Properties
Each chord defines several related measurements: the arc it subtends, the central angle, the segment area (between chord and arc), and the segment height (distance from chord midpoint to arc). These are all interconnected through the radius.
Applications
Chord calculations are used in structural engineering (arch design), manufacturing (circular cuts), navigation (great circle routes), optics (lens design), and music theory (string vibration patterns). Understanding chord properties is fundamental in circular geometry.
Die Sehne in der Geometrie
Eine Kreissehne (chord) ist eine Strecke, die zwei Punkte auf dem Kreis verbindet. Länge: c = 2r×sin(α/2), wobei α der Zentriwinkel ist. Die längste Sehne ist der Durchmesser (α = 180°, c = 2r). Eigenschaften: alle Sehnen gleichen Abstands vom Mittelpunkt haben gleiche Länge, die Senkrechte vom Mittelpunkt auf eine Sehne halbiert diese, der Abstand vom Mittelpunkt: d = √(r²-(c/2)²). Anwendungen: Brückenbau (Bogensehnen als Zugelemente), Geodäsie (Sehnen als geradlinige Verbindung auf Kreisbögen), Mechanik (Sehnenkräfte in Ketten und Riementrieben), Musik (Saite = Sehne, Schwingungsform ist Sinus).
Sehnen und Kreisbögen
Der Zusammenhang zwischen Sehne, Bogen und Sektor: Bogenlänge s = r×α (Radianten), Sehne c = 2r×sin(α/2), Segmenthöhe h = r(1-cos(α/2)). Für kleine Winkel (α < 10°): Sehne ≈ Bogen (Unterschied < 0,5%). Approximation: c ≈ s - s³/(24r²) für genauere Berechnung. Historische Bedeutung: die Sehnen-Tafel von Hipparch (ca. 150 v.Chr.) war die erste trigonometrische Tabelle — er berechnete Sehnenlängen für Winkel von 0,5° bis 180°. Ptolemaios verfeinerte dies in seinem „Almagest" (ca. 150 n.Chr.) und schuf die umfassendste Sehnen-Tafel der Antike.
Der Satz der Sehnen
Das Sehnentangenten-Winkel-Theorem: der Winkel zwischen Sehne und Tangente ist gleich dem halben Zentriwinkel. Der Sehnentangentenwinkel: β = α/2, wobei α der zum gegenüberliegenden Bogen gehörende Zentriwinkel ist. Peripheriewinkelsatz: alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind gleich. Der Umkreiswinkel ist immer halb so groß wie der Zentriwinkel über derselben Sehne. Anwendungen: Konstruktion des Umkreises, Beweis des Thales-Satzes (Peripheriewinkel über dem Durchmesser = 90°), Navigation (Peilwinkel-Verfahren). Die Sehnengeometrie ist die Grundlage der gesamten Kreistheorie und der trigonometrischen Beziehungen.
Der Sehnensatz in der Musik
Musikalische Sehnen: eine schwingende Saite ist eine Sehne. Grundfrequenz: f₁ = (1/2L)×√(T/μ), wobei L = Länge, T = Spannung, μ = Masse/Länge. Obertöne: ganzzahlige Vielfache von f₁ (f₂ = 2f₁, f₃ = 3f₁...). Harmonische: die Obertöne erzeugen den Klangcharakter (Timbre) eines Instruments. Verwandtschaft: eine Saite, die in der Mitte geteilt wird, klingt eine Oktave höher (frequenzverdopplung). Drittelung: Quinte (3:2). Viertelung: Duodezime (4:1). Die Saitenteilung folgt genau den Verhältnissen der Sehnenlängen auf einem Kreis und verbindet Geometrie mit Musiktheorie direkt.
Sehnen und der Sehnenviereckssatz
Das Sehnenviereck (zyklisches Viereck) hat alle vier Eckpunkte auf einem Kreis. Satz von Ptolemaios: Für ein Sehnenviereck mit Seiten a,b,c,d und Diagonalen e,f gilt: e×f = a×c + b×d. Anwendung: Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes, Berechnung von Diagonalen. Brahmagupta-Formel für die Fläche: A = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)), wobei s = (a+b+c+d)/2. Spezialfall: Rechteck (alle Rechtecke sind Sehnenvierecke, da die Diagonalen Durchmesser des Umkreises sind). Der Satz von Ptolemaios verallgemeinert die Trigonometrie und ist ein elegantes Bindeglied zwischen elementarer und höherer Geometrie.
Sehnen und der Satz von der Potenz eines Punktes
Die Potenz eines Punktes P bezüglich eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M: pot(P) = PM² - r². Liegt P außerhalb (pot > 0): jede Sekante durch P liefert pot(P) = PT₁ × PT₂ (Produkt der beiden Abschnitte). Liegt P auf dem Kreis (pot = 0). Liegt P innerhalb (pot < 0): jede Sehne durch P liefert |pot(P)| = PH₁ × PH₂. Anwendung: Apollonius-Kreis (Menge aller Punkte mit gegebenem Abstandsverhältnis zu zwei festen Punkten), Inversion am Kreis (Transformation der ebenen Geometrie), Radikalsatz (Gemeinsame Sehne zweier Kreise). Die Potenz ist ein elegantes Konzept, das viele Sätze der Kreisgeometrie vereint und auf höhere Geometrie verallgemeinert werden kann.
Sehnen in der Astronomie
Hipparchs Sehnen-Tafel (ca. 150 v.Chr.): der Ursprung der Trigonometrie. Er berechnete Sehnenlängen für Winkel von 7,5° bis 180° in Schritten von 7,5° in einem Kreis mit Radius 3.438'. Die Sehne von 60° = 3.438' (exakt r). Die Sehne von 90° = 4.872' ≈ r√2. Ptolemaios erweiterte die Tafel auf Schritte von 0,5° im „Almagest". Der Zusammenhang: Sehne(α) = 2r×sin(α/2) — die Sehnen-Tafel ist äquivalent zu einer Sinus-Tafel. Die moderne Trigonometrie mit sin/cos/tan ersetzte die Sehnenfunktion im 16. Jahrhundert, aber das Konzept bleibt fundamental. Hipparchs Werk gilt als Geburtsstunde der wissenschaftlichen Astronomie und der Trigonometrie.
Sehnen und moderne Geometrie-Software
In CAD-Systemen und Geometrie-Software (GeoGebra, AutoCAD, SolidWorks): Sehnen werden zur Konstruktion von Kreisbögen, Tangenten und Schnittpunkten verwendet. GeoGebra: Sehne(Mittelpunkt, Radius, Winkel1, Winkel2) erzeugt eine Sehne mit parametrischer Kontrolle. AutoCAD: der Befehl CHORD zur Sehnenkonstruktion. Algorithmen: Sehnen-Schnitt (zwei Kreise → bis zu 2 Schnittpunkte) ist ein Standardproblem der Computergeometrie mit O(1) Komplexität und wird in Collision Detection, Ray Tracing und Bildverarbeitung eingesetzt.