Kombinationsrechner

Berechnen Sie die Anzahl möglicher Kombinationen bei der Auswahl von k Elementen aus n.

Combinations (nCr)

C(10, 3) = 120

n!

10! = 3,628,800

r!

3! = 6

(n-r)!

(10-3)! = 5,040

Kombinationen visualisiert

Formula: n! / (r! × (n-r)!)

r ValueCombinations
C(10, 0)1
C(10, 1)10
C(10, 2)45
C(10, 3)120
C(10, 4)210
C(10, 5)252
C(10, 6)210
C(10, 7)120
C(10, 8)45
C(10, 9)10
C(10, 10)1

Kombinationen verstehen

Was sind Kombinationen?

Kombinationen beschreiben die Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n Elementen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Formel lautet C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Beispiel: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 10 Möglichkeiten, 3 Personen aus einer Gruppe von 5 auszuwählen.

Eigenschaften

C(n,0) = 1 (es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen). C(n,n) = 1 (es gibt eine Möglichkeit, alles auszuwählen). C(n,k) = C(n,n-k) (Symmetrie). Die Summe aller C(n,k) für k=0 bis n ergibt 2^n.

Praktisches Beispiel

Szenario: Lotterie

In einer Lotterie müssen 6 aus 49 Zahlen gewählt werden. Die Anzahl möglicher Kombinationen: C(49,6) = 49!/(6!×43!) = 13.983.816. Die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen, beträgt 1 zu fast 14 Millionen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Permutation?

Bei Kombinationen ist die Reihenfolge unwichtig (A,B = B,A). Bei Permutationen ist die Reihenfolge wichtig (A,B ≠ B,A). Kombinationen ergeben immer kleinere oder gleiche Anzahlen.

Wann verwendet man Kombinationen?

Kombinationen werden verwendet, wenn man aus einer Menge Elemente auswählt und die Reihenfolge keine Rolle spielt: Lotteriezahlen, Teamzusammenstellung, Menüauswahl.

Was passiert wenn k größer als n ist?

C(n,k) = 0 wenn k > n. Man kann nicht mehr Elemente auswählen, als vorhanden sind.

Was ist die Beziehung zum Pascalschen Dreieck?

Jeder Eintrag im Pascalschen Dreieck ist eine Binomialkoeffizient C(n,k). Die n-te Zeile enthält C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n).

Wie berechnet man C(n,k) effizient?

Nutzen Sie die symmetrische Formel: C(n,k) = C(n, n-k). Berechnen Sie den kleineren der beiden Werte. Multiplizieren Sie iterativ: C(n,k) = (n×(n-1)×...×(n-k+1)) / k!

Disclaimer: Dieser Rechner führt kombinatorische Berechnungen durch. Ergebnisse sind exakt für alle gültigen Eingaben.

Quellen und Referenzen

  1. Wikipedia. "Combination." en.wikipedia.org
  2. Wikipedia. "Binomial coefficient." en.wikipedia.org
  3. Wikipedia. "Pascal's triangle." en.wikipedia.org

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Mathematik

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Mittel, Median, Modus, geometrisch.

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Brüche addieren, subtrahieren, mal, geteilt.

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