Entendiendo las Derivadas
¿Qué es una derivada?
La derivada mide cómo cambia la salida cuando cambia la entrada. Formalmente, f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) − f(x))/h. Da la pendiente de la recta tangente.
Regla de la potencia
Para axⁿ, la derivada es a·n·xⁿ⁻¹. Es la regla más fundamental de diferenciación.
Interpretación geométrica
Derivada positiva = función creciente. Negativa = decreciente. Cero = tangente horizontal (posible máximo o mínimo).
Derivadas de orden superior
La segunda derivada f''(x) indica concavidad. Positiva = cóncava arriba, negativa = cóncava abajo.
Aplicaciones
Física (velocidad, aceleración), optimización, economía (costo marginal), biología (tasas de crecimiento) y aprendizaje automático (descenso de gradiente).