Entendiendo los Determinantes
¿Qué es un determinante?
El determinante es un valor escalar calculado a partir de una matriz cuadrada. Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], el determinante es ad − bc.
Significado geométrico
El valor absoluto del determinante representa el factor de escala de la transformación lineal. Para 2×2, equivale al área del paralelogramo formado por los vectores columna.
Expansión por cofactores
Se expande a lo largo de una fila: det(A) = Σ (−1)^(i+j) × aᵢⱼ × det(Mᵢⱼ). Cada sub-determinante se calcula recursivamente hasta llegar a matrices 2×2.
Propiedades
Si det(A) = 0, la matriz es singular. Intercambiar dos filas cambia el signo. det(AB) = det(A)×det(B).
Aplicaciones
Verificar invertibilidad, resolver sistemas de ecuaciones (regla de Cramer), calcular valores propios, y cambio de variables en integrales multivariables.